QUALITATIVE PROPERTIES OF NONLINEAR PARABOLIC EQUATIONS WITH DOMINATING GRADIENT TERMS

Abstract

Mi tesis consiste de contribuciones al estudio de soluciones de viscosidad de ecuaciones parabólicas no lineales. Abordamos los fenómenos de existencia de soluciones continuas, pérdidas de condiciones de frontera, y comportamiento asintótico de soluciones de problemas con condiciones iniciales y de frontera asociados a varias generalizaciones de la llamada ecuación de Hamilton-Jacobi viscosa.

Específicamente, en una primera parte estudiamos cuándo las soluciones de una ecuacion completamente no-lineal, uniformemente parabólica, con un término de primer orden supercuadrático satisfacen condiciones de frontera en el sentido clásico. Nuestros principales resultados son la no existencia de soluciones globales en el tiempo para este problema, cuando la condiciones inicial es suficientemente grande, y la existencia de solutiones locales en el tiempo para condiciones iniciales con primera derivada continua gasta al frontera. Nuestro resultado implica la ocurrencia de pérdida de condiciones de frontera en tiempo finito, es decir, que una soluciones que satisface condicoines de frontera en un sentido generalizado eventualmente toma valores estrictamente positivos en la frontera.

En una segunda parte, obtenemos resultados similares para una ecuación con difusión fraccionaria, para un rango específico de valores para el orden del operador fraccionario y el creimiento del término gadiente en la ecuación, y suponiendo ahora cuna condición de Hölder para la condición inicial.

Finalmente, estudiamos también el comportamiento asintótico de soluciones no acotadas de la ecuación de Hamilton-Jacobi viscosa con un lado derecho no homogéneo, cuando el dominio es todo el espacio. En esta parte obtenemos la existencia y unicidad de soluciones cuando el lado derecho es no-negativo, coercivo y localmente Lipschitz continuo., y la condición inicial es conitnua y no-negativa. Con respecto al comportamiento asintótico, obtenemos que las soluciones convergen de manera localmente uniforme, módulo una término de correción lineal, a las soluciones del problema ergódico asociado.

My thesis consists of contributions to the study of viscosity solutions of nonlinear parabolic equations. We address the phenomena of continuous solvability, loss of boundary conditions, and the large-time behavior for initial and boundary value problems associated to different generalizations of the so-called viscous Hamilton-Jacobi equation.

More specifically, in a first part we study whether the solutions of a fully nonlinear, uniformly parabolic equation with superquadratic growth in the gradient satisfy initial and homogeneous boundary conditions in the classical sense, a problem we refer to as the classical Dirichlet problem. Our main results are the nonexistence of global-in-time solutions of this problem, depending on a specific largeness condition on the initial data, and the existence of local-in-time solutions for initial data with first order derivative continuous up to the boundary. Our result implies the occurrence of loss of boundary conditions in finite time. Specifically, a solution satisfying homogeneous boundary conditions in a generalized sense eventually becomes strictly positive at some point of the boundary.

In a second part we obtain similar results for an equation with fractional diffusion for a specific range of values of the fractional-order operator and the power of the gradient term, assuming now Hölder regularity for the initial data.

Finally, we study the large-time behavior of unbounded solutions of the viscous Hamilton-Jacobi equation with a nonhomogeneous source term, set over the whole space. In the part we obtain well-posedness for nonnegative, coercive, locally-Lipschitz source terms and nonnegative, continuous initial data, and local uniform convergence to solutions of the so-called ergodic problem under the additional assumption of polynomial growth for the source term.