Quelques propriétés topologiques des graphes et applicatións a internet et aux réseaux

Abstract

Introduction. Internet, depuis sa création, souleve de nombreuses problématiques. Son étude, entant que phénomene social et technologique, embrasse plusieurs domaines de recherche.La démocratisation des moyens de communication se traduit par une évolution explosive d'Internet. Cette expansion s'accompagne d'un grand éventail de difficultés de natures hétérogenes. Les travaux présentés dans cette these se consacrent a l'analyse de différentes questions théoriques dans les réseaux de communication et leur applicabilitédans le cas d'Internet.L'objet d'étude des travaux présentés ici tourne principalement autour des graphes.La théorie des graphes offre un cadre riche pour l'analyse des propriétés des réseaux decommunication. La quantification des propriétés structurelles d'un graphe peut etre déterminée a partir de différents parametres, comme par exemple la largeur arborescente.Internet peut etre vu comme un empilement de réseaux dans une compositionhiérarchique. Cette organisation impose l'analyse du réseau a différents niveaux. Parexemple, on peut considérer Internet comme un ensemble de routeurs reliés entre eux.Dans ce cas, le graphe associé contient un sommet pour chaque routeur et une areteexiste entre deux sommets (routeurs) s'ils sont reliés physiquement. D'autre part , lesrouteurs sont organisés en Systemes Autonomes ou AS. Un Systeme Autonome est un ensemble de routeurs sous la meme administration qui partagent une politique de routage commune. A la date de publication de cette these, il existe environ quarante mille Systemes Autonomes. Le réseau de connexions entre les AS correspond a la structure de plus haut niveau d'Internet. Dans le graphe associé, chaque sommet représente un Systeme Autonome, et deux sommets sont reliés s'il existe un lien entre deux routeurs des deux Systemes Autonomes correspondants.Dans cette these, trois problématiques relativement indépendantes sont abordées.La premiere concerne la structure d'Internet. Nous nous intéressons particulierementa deux parametres de graphe : la largeur arborescente (treewidth) et l'hyperbolicité.Ces deux parametres mesurent la proximité d'un graphe avec un arbre sur deuxpoints de vue différents et nous intéressent pour différentes raisons. D'un coté, il existe des travaux suggérant que l'hyperbolicité d 'Internet est faible. Par exemple, Shavitt et Tankel [ST04, ST08] ont montré que les graphes d'Internet peuvent etre plongés avec une meilleure précision dans un espace hyperbolique plutót que dans un espace euclidien de meme dimension. D'autre part, la structure hiérarchique d'Internet se rapproche dans son design d 'une structure arborescente. C'est ce que suggere le travail de Ramasubramanian et al. [RMK+og] concernant les distances dans Internet.Outre l'hyperbolicité, nous nous intéressons done a la treewidth qui est une autremesure de proximité avec la structure d 'arbre. Nous en arrivons done a la questionsuivante : quelles sont la treewidth et 1 'hyperbolicité d 'Internet?La largeur arborescente, introduite par Robertson et Seymour dans [RS86], mesurele niveau de connectivité globale d'un graphe. Dans les arbres, la suppression d'unsommet déconnecte l'arbre en deux composantes connexes. A cet égard, on peut direqu'un graphe est proche d'un arbre si deux sommets quelconques du graphe peuventetre déconnectés en enlevant une petite quantité de sommets du graphe. Cecidonne une idée intuitive de ce que mesure la treewidth. L'hyperbolicité, d 'autre part,détermine la proximité de la métrique du graphe a celle d 'un arbre. La notion d'hyperbolicité a été introduite par Gromov [G R087] dans le cadre des groupes géométriques mais elle s'applique aussi en théorie des graphes. Un graphe a une faible hyperbolicité s'il est possible de construire un arbre et une correspondance entre les sommets du graphe et ceux de l'arbre de sorte que les distances dans le graphe sont bien approchées par les distances dans l'arbre.